Intro
Økt 1
Lærerveiledning
Økt 2
Lærerveiledning
Økt 3
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne SUM-en
Likhet (eller ekvivalens) er en matematisk ide som handler om at noe representerer det samme som noe annet. Likhetstegnet (=) er det matematiske symbolet for likhet. I denne SUM’en får elevene erfaringer med likhet og bruk av likhetstegnet i forbindelse med ligninger, representert ved skålvekt, tegninger og symboler. Varierte erfaringer gir elevene et godt utgangspunkt for å utvikle en relasjonell forståelse av likhet og likhetstegnet. Det er avgjørende for å lykkes i for eksempel algebra og problemløsing.
| Kunnskapsområde | Tall, algebra |
|---|---|
| Forkunnskaper | Elevene bør ha kjennskap til skålvekt som hjelp til å konkretisere regnestykker |
| Sentrale begrep | Likvekt, likning, x som ukjent |
| Trinn | Fra 5. trinn |
| Utstyr | Skålvekt, Nymicon/Multilink eller lignende |
| Litteratur | Matematisk samtale, problemløsning, representasjoner |
Økt 1: |
Fra ubalanse til balanse Utforsking, samtale |
|---|---|
Økt 2: |
Fra skålvekt til likning Øving, samtale |
Økt 3: |
Øving og problemløsning Øving |
Fra ubalanse til balanse
Læringsmål: Beskrive ubalanse og balanse konkret, verbalt og symbolsk
Skålvekt i balanse og ubalanse
Hensikt: Elevene skal beskrive hva som kjennetegner ei skålvekt i ubalanse og hvordan de kan opprettholde ubalansen. Det samme med ei vekt i balanse. Elevene skal arbeide konkret (med skålvekta), verbalt («det er to mer i den ene skåla») og symbolsk (2 + 4 = 6). La elevene få varierte erfaringer knyttet til skålvekt i ubalanse og balanse. Introduser etter hvert likevekt som et annet ord for at noe er i balanse.
Aktivitet
Utstyr: skålvekt, Numicon/Multilink eller lignende
Ta utgangspunkt i ulike situasjoner der skålvekta er i ubalanse. Bruk spørsmålene i lærerveiledningen til en matematisk samtale med elevene.
La elevene først få erfaringer knyttet til ei skålvekt i ubalanse, før de arbeider med ei skålvekt i balanse.
Få skålvekta i balanse
Hensikt: Elevene skal beskrive hva de må gjøre for å få ei skålvekt i balanse når den i utgangspunktet er i ubalanse. Kombiner ulike representasjoner; de konkrete situasjonene med skålvekta og symboler. Skålvekta kan også brukes når elever skal argumentere for sine løsninger.
Aktivitet
Utstyr: Skålvekt, Numicon/Multilink eller lignende
Gi elevene ulike regnestykker der ett tall mangler. Elevene kan bruke skålvekta til å konkretisere de ulike regnestykkene de får.
Når elevene har fått erfaring med de ulike oppgavetypene (se lærerveiledning for en oversikt over ulike oppgavetyper), kan elevene lage regnestykker til hverandre.
Dere er klare til å gå videre til neste økt når
- Elevene kan forklare hvordan de kan opprettholde balanse på ulike måter. Også konkret og symbolsk.
- Elevene kan forklare riktig bruk av likhetstegnet.
Fra skålvekt til likning
Læringsmål: Bruke standard algebraisk symbolbruk (bokstaver) i enkle regnestykker, og vite at likt symbol representerer noe som er likt.
Skålvekt i balanse og ubalanse
Hensikt: Elevene skal opprettholde likevekt i oppgaver som viser ei skålvekt der ett eller flere objekter har ukjent verdi. Elevene kan fint arbeide parvis og de må kunne argumentere for hvorfor deres løsning er riktig. I oppgaveheftet er det en kolonne der elevene skal skrive hver oppgave med symboler. Samtal med elevene om at det er enklere å representere disse illustrasjonene med symboler. Vi bruker ofte x som det ukjente i likninger.
Aktivitet
Utstyr: Oppgavehefte (pdf), eventuelt skålvekt
La elevene arbeide med oppgavene i heftet. Illsutrasjonen viser en oppgave fra heftet. Her kan elevene først finne at hunden må ha verdi 11, fordi da er det like mye på begge sider og skålvekta er i balanse. Deretter må de utfordres til å skrive det skålvekta viser med symboler. Altså x + 2 = 13. Som gir x = 11. Ha fokus på at det er enklere å skrive med symboler enn det er å tegne skålvekta med klosser og hund.
Aktivitet
Utstyr: Oppgaveark (pdf)
Oppgavearket inneholder tre oppgaver fra oppgaveheftet i forrige aktivitet. Elevene skal rangere oppgavene fra den enkleste til den vanskeligste.
Se lærerveiledning for forslag til spørsmål.
Matematisk samtale
Samtal med elevene om deres løsninger av oppgavene.
Se lærerveiledningen for forslag til spørsmål.
Dere er klare til å gå videre til neste økt når
- Elevene kan forklare hvordan de går fram for å finne den ukjente.
- Elevene bruker symboler på en korrekt måte.
Øvingsoppgaver
Læringsmål: Bruke kunnskap i nye situasjoner.
Arbeid med ulike oppgaver
Hensikt: Elevene skal få varierte erfaringer med ulike oppgaver om likevekt og likninger.
Oppgaveløsing
Utstyr: Oppgavehefte (pdf)
La elevene arbeide med oppgavene i heftet. Heftet inneholder et mangfold av oppgaver. Du finner rene øvingsoppgaver og problemløsningsoppgaver.
Avsluttende vurdering av SUM
- Elevene bruker kompetansen de har tilegnet seg i økt 1 og 2, i de nye situasjonene de har møtt i denne økta.
Lærerveiledning økt 1
Aktivitet 1 – Skålvekt
Hvorfor arbeide med denne oppgaven
Læringsmål: beskrive ubalanse og balanse konkret, verbalt og symbolsk.
Elevene skal beskrive hva som kjennetegner ei skålvekt i ubalanse og hvordan de kan opprettholde ubalansen. Det samme med ei vekt i balanse. Elevene skal arbeide konkret (med skålvekta), verbalt («det er to mer i den ene skåla») og symbolsk (2 + 4 = 6). Økta lar elevene få varierte erfaringer knyttet til skålvekt i ubalanse og balanse.
Mulig tilnærming
Legg opp aktiviteten som en matematisk samtale der elevene får se og selv erfare skålvekta i balanse/ubalanse.
Start med vekta i ubalanse. Spør gjerne:
- Hva ser du?
- Hva kan vi legge oppi/ta bort fra skål A/skål B slik at skålvekta fortsatt er i ubalanse?
- Hva skal til for at vekta fortsetter å vøre i ubalanse?
Hensikten med spørsmålene er å løfte fram elevutsagn som handler om antall enheter, ikke vekt eller masse. For eksempel «6 i skål A har større verdi enn 2 i skål B», «2 i skål B har mindre verdi enn 6 i skål A», «det er 4 mer i skål A enn i skål B».
For å opprettholde ubalansen kan vi legge til hva vi vil i skål A, vi kan ta bort så mye vi vil fra skål B, eller vi kan legge til eller ta bort like mye fra begge skålene.
Med symboler kan vi skrive ubalanse slik: 6 ≠ 2.
La elevene selv også utforske ubalanse med egen skålvekt.
Sett så vekta i balanse, spør gjerne:
- Hva ser/vet du?
- Hva kan vi legge oppi/ta bort fra skål A/skål B slik at skålvekta fortsatt er i likevekt?
- Hva skal til for å opprettholde likevekt?
Hensikten med spørsmålene er å løfte fram elevutsagn som handler om antall enheter, ikke vekt eller masse, for eksempel «6 i skål A er det samme som 2 + 4 i skål B». For å opprettholde likevekt må vi legge til (6 + 3 = 2 + 4 + 3) eller ta bort (6 – 1 = 2 + 4 – 1) like mye fra begge skålene.
Her kan det etter hvert være hensiktsmessig å introdusere begrepet likevekt.
Gode veiledningsspørsmål
- Hvorfor er skålvekta i balanse/ubalanse?
- På hvilken måte er det mer/mindre?
- Kan dere finne andre eksempler på at skålvekta er i balanse/ubalanse?
Mulig utvidelse
Når elevene utforsker med skålvekter er det viktig at de selv får utfolde seg ved å bruke mange ulike tall. Elever som trenger mer utfordring vil gjerne teste veldig høye tall og kombinasjoner de synes virker umulige.
Mulig støtte
...
Aktivitet 2 - med symboler
Hvorfor arbeide med denne oppgaven
I denne aktiviteten får elevene erfaring med hvordan representasjonene henger sammen med skålvekta som en konkret representasjon av det symbolske. Dette vil øve elevene i å oversette mellom representasjonene, og gi innsikt i hva en likning representerer.
Mulig tilnærming
Sett opp en situasjon med skålvekta der den er i ubalanse. Skriv ned situasjonen som et enkelt regnestykke med ukjent på tavla, for eksempel
15 + ___ = 25. Spør elevene «hvordan kan vi få denne skålvekta i balanse?» Gjør dette med noen ulike situasjoner.
Fortsett deretter med oppgaver av typen som utfordrer elevenes forståelse av likhetstegnet. Eksempel 18 + 12 = ___ + 5.
En vanlig misoppfatning er at elevene skriver summen av tallene på venstre side på den ledige plassen, fordi = betyr «her kommer svaret».
Det er forskjell på om du skriver det manglende tallet rett bak = som vist i eksemplet, eller om du skriver 18 + 12 = 5 + __. Denne oppgaven utfordrer ikke forståelsen for likhetstegnet på samme måte.
Følg deretter på med oppgaver av typen om har flere ulike løsninger, som for eksempel ___ + 13 = 16 + ___
Til slutt kan elevene lage egne likninger, med en eller flere løsninger til hverandre.
Du kan også bruke en «utgangsbillett» på slutten av økta, der du ber elevene lage 3 likninger til deg, med fasit, som de leverer inn. Slik kan du lettere se om noen trenger mer tid med dette.
Gode veiledningsspørsmål
- Kan dette stemme?
- Hva skjer om du prøver å løse likningen? Hva er det likhetstegnet betyr?
Mulig utvidelse
Når elevene skal lage regnestykker for hverandre er det viktig at de som trenger utfordring får utforske med store, og vanskelige tall. La de også løse hverandres likninger slik at de også har muligheten til å «teste» om likningene kan stemme.
Mulig støtte
...
Lærerveiledning økt 2
Aktivitet 1 – Skålvekt
Hvorfor arbeide med denne oppgaven
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Sed commodo magna ac quam tincidunt porttitor. Maecenas tempus ex semper leo fringilla posuere. Aenean efficitur vestibulum metus eu iaculis. Sed vehicula tristique elit, in convallis justo aliquet vitae. Sed efficitur nibh et nisi ultrices tempus. Proin ut dapibus dolor.
Mulig tilnærming
Donec porttitor nulla consequat, venenatis purus vel, ullamcorper nibh. Pellentesque faucibus metus massa, a suscipit dui vehicula nec.
Proin auctor, sem nec ultricies faucibus, purus lacus hendrerit nibh, ornare elementum mauris enim facilisis ante:
- Morbi mollis risus id arcu pellentesque pharetra?
- Cras tincidunt, magna quis sagittis faucibus, felis turpis lobortis massa, vitae vulputate dolor sapien ac dui?
Sed blandit, metus eget suscipit ultricies, arcu velit molestie nulla, ut placerat mauris purus et nisl. Praesent non bibendum urna. Phasellus suscipit, urna a tristique efficitur, nisl lorem dapibus felis, pellentesque finibus dui magna sed neque. Duis in pulvinar augue. Nullam suscipit dui massa. Ut tempor quam viverra, feugiat leo et, finibus est. Quisque pharetra lacinia ligula, eu rutrum tortor posuere non. Nullam id cursus odio. Mauris sit amet lacus vehicula, ultrices mi a, egestas ante. Duis sit amet nunc a lectus viverra hendrerit eu et nisi.
Nullam id cursus odio:
- Mauris sit amet lacus vehicula, ultrices mi a, egestas ante?
- Duis sit amet nunc a lectus viverra hendrerit eu et nisi?
- Aliquam scelerisque lobortis mauris, vel malesuada magna ultrices vitae?
Vivamus et erat ac mauris pretium ornare eget in velit. Morbi fermentum at risus nec rhoncus. Ut ultricies, justo eu tristique pretium, magna nisi malesuada tortor, suscipit mollis lacus nunc et mi. Ut enim erat, condimentum ut feugiat sed, accumsan vel enim.
Gode veiledningsspørsmål
- Vestibulum venenatis, magna rhoncus ultrices auctor, sapien urna semper sapien, ac sollicitudin quam sem sit amet magna?
- Suspendisse potenti?
Mulig utvidelse
Nunc in consequat nisl, quis pellentesque purus. Fusce vulputate ante ex, eget vestibulum diam commodo ut.
Mulig støtte
...
Aktivitet 2 - med symboler
Hvorfor arbeide med denne oppgaven
Nam scelerisque nibh vel lacinia dignissim. Morbi pretium justo ac odio euismod, nec laoreet turpis finibus. Cras nec porttitor ante. Praesent luctus dictum scelerisque.
Mulig tilnærming
Aliquam erat volutpat. Suspendisse at eros vestibulum, scelerisque arcu et, auctor magna. Suspendisse mi odio, maximus a nisi non, tincidunt ultrices mi. Quisque nec dui dignissim mi euismod luctus vel sit amet ex. Sed augue quam, elementum at dui in, sodales sodales augue. Integer consequat, elit id dapibus faucibus, orci nunc porttitor nisl, quis mattis justo dui nec orci. Pellentesque dictum neque augue, ac pretium risus varius eu.
Sed venenatis, dui tincidunt convallis feugiat, velit lacus varius augue, id semper elit lectus nec erat. Vivamus hendrerit a odio ut hendrerit. Curabitur eu porta metus, sit amet molestie justo. Proin aliquam quam a mi lacinia porta. Proin elementum placerat faucibus. Duis eu libero nec augue interdum maximus at vitae massa. In euismod urna ut nunc cursus, vel ullamcorper tortor commodo. Quisque blandit tincidunt sem sed sagittis. Aliquam consectetur luctus egestas. Curabitur sed dui tortor.
Gode veiledningsspørsmål
- Quisque cursus molestie arcu, sed viverra metus?
- Nam suscipit ante et purus varius condimentum?
Mulig utvidelse
Integer varius ligula quis ante iaculis, et mattis turpis blandit. Phasellus eget laoreet orci. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos.
Mulig støtte
...
Lærerveiledning økt 3
Aktivitet 1 – Skålvekt
Hvorfor arbeide med denne oppgaven
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Sed commodo magna ac quam tincidunt porttitor. Maecenas tempus ex semper leo fringilla posuere. Aenean efficitur vestibulum metus eu iaculis. Sed vehicula tristique elit, in convallis justo aliquet vitae. Sed efficitur nibh et nisi ultrices tempus. Proin ut dapibus dolor.
Mulig tilnærming
Donec porttitor nulla consequat, venenatis purus vel, ullamcorper nibh. Pellentesque faucibus metus massa, a suscipit dui vehicula nec.
Proin auctor, sem nec ultricies faucibus, purus lacus hendrerit nibh, ornare elementum mauris enim facilisis ante:
- Morbi mollis risus id arcu pellentesque pharetra?
- Cras tincidunt, magna quis sagittis faucibus, felis turpis lobortis massa, vitae vulputate dolor sapien ac dui?
Sed blandit, metus eget suscipit ultricies, arcu velit molestie nulla, ut placerat mauris purus et nisl. Praesent non bibendum urna. Phasellus suscipit, urna a tristique efficitur, nisl lorem dapibus felis, pellentesque finibus dui magna sed neque. Duis in pulvinar augue. Nullam suscipit dui massa. Ut tempor quam viverra, feugiat leo et, finibus est. Quisque pharetra lacinia ligula, eu rutrum tortor posuere non. Nullam id cursus odio. Mauris sit amet lacus vehicula, ultrices mi a, egestas ante. Duis sit amet nunc a lectus viverra hendrerit eu et nisi.
Nullam id cursus odio:
- Mauris sit amet lacus vehicula, ultrices mi a, egestas ante?
- Duis sit amet nunc a lectus viverra hendrerit eu et nisi?
- Aliquam scelerisque lobortis mauris, vel malesuada magna ultrices vitae?
Vivamus et erat ac mauris pretium ornare eget in velit. Morbi fermentum at risus nec rhoncus. Ut ultricies, justo eu tristique pretium, magna nisi malesuada tortor, suscipit mollis lacus nunc et mi. Ut enim erat, condimentum ut feugiat sed, accumsan vel enim.
Gode veiledningsspørsmål
- Vestibulum venenatis, magna rhoncus ultrices auctor, sapien urna semper sapien, ac sollicitudin quam sem sit amet magna?
- Suspendisse potenti?
Mulig utvidelse
Nunc in consequat nisl, quis pellentesque purus. Fusce vulputate ante ex, eget vestibulum diam commodo ut.
Mulig støtte
...
Aktivitet 2 - med symboler
Hvorfor arbeide med denne oppgaven
Nam scelerisque nibh vel lacinia dignissim. Morbi pretium justo ac odio euismod, nec laoreet turpis finibus. Cras nec porttitor ante. Praesent luctus dictum scelerisque.
Mulig tilnærming
Aliquam erat volutpat. Suspendisse at eros vestibulum, scelerisque arcu et, auctor magna. Suspendisse mi odio, maximus a nisi non, tincidunt ultrices mi. Quisque nec dui dignissim mi euismod luctus vel sit amet ex. Sed augue quam, elementum at dui in, sodales sodales augue. Integer consequat, elit id dapibus faucibus, orci nunc porttitor nisl, quis mattis justo dui nec orci. Pellentesque dictum neque augue, ac pretium risus varius eu.
Sed venenatis, dui tincidunt convallis feugiat, velit lacus varius augue, id semper elit lectus nec erat. Vivamus hendrerit a odio ut hendrerit. Curabitur eu porta metus, sit amet molestie justo. Proin aliquam quam a mi lacinia porta. Proin elementum placerat faucibus. Duis eu libero nec augue interdum maximus at vitae massa. In euismod urna ut nunc cursus, vel ullamcorper tortor commodo. Quisque blandit tincidunt sem sed sagittis. Aliquam consectetur luctus egestas. Curabitur sed dui tortor.
Gode veiledningsspørsmål
- Quisque cursus molestie arcu, sed viverra metus?
- Nam suscipit ante et purus varius condimentum?
Mulig utvidelse
Integer varius ligula quis ante iaculis, et mattis turpis blandit. Phasellus eget laoreet orci. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos.
Mulig støtte
...
Eksempelsamtale aktivitet 1 - Likevekt
Lærer har satt fram ei skålvekt med ulike mengder klosser på hver side. Elevene sitter i grupper med ei skålvekt foran seg, og har kopiert lærerens skålvekt. Samtalen har dreid seg om hva de ser og vet om skålvekta foran seg. Og hva begrepene balanse/ubalanse betyr.
- Lærer: «Hva skal til for at vekta vil komme i balanse?»
- Læreren venter i 25-30 sekunder.
- Lærer: «snakk sammen to og to, hva skal til for at vekta vil komme i balanse?»
- Elevene snakker sammen, bruker gester og prøver ut med klossene og vekta foran seg. Læreren klapper tre ganger.
- Lærer: «Ok... Luca og Liam, hva snakket dere om?»
- Luca: « Jo, at du må putte oppi flere der.»
- Luca peker mot der det er færrest klosser.
- Liam nikker enig.
- Lærer: «OK, er det noen som har snakket om noe annet?»
- Ingen viser tegn.
- Lærer: «Even og Kaja, kan dere si hva dere snakka om?»
- Liam: «Jo, at eh.. Man må putte oppi mer!»
- Lærer: «Man må putte oppi mer?»
- Kaja: «Ja! Oppi her.»
- Kaja peker på vekta på den siden det er færrest klosser.
- Lærer: «Okei... Flere oppi her.»
- Læreren legger oppi flere klosser, men for mange slik at vekta havner i ubalanse motsatt vei.
- Flere elever utbryter «Nei! Ikke sånn!»
- Lærer: «Ada»
- Læreren peker mot ei jente som rekker opp hånda.
- Lærer: «Hva tenker du?»
- Ada: «Det blir for mange!»
- Læreren trenger utdyping og spør: «OK, dette må forklare mer for meg».
- Ada: «Det manglet bare to klosser og du la oppi fire!»
- Læreren «Hmmm, kan du prøve og forklare meg det Ada sier Eline?»
- Eline: «Jaaa.. Eh... Når vekta var som i sted...»
- Lærer: «Sånn?»
- Læreren tar bort klossene som hun nettopp la oppi.
- Eline: «Ja, da måtte man legge oppi to klosser for at det skulle bli like mange på begge sider.»
- Lærer: «Sånn?»
- Læreren legger to klosser oppi der det er færrest).
- Flere: «Ja!»
- Lærer: «Ok, hva har skjedd med vekta nå?»
- Kaja: «Nå er den i balanse!»