Intro
Økt 1
Lærerveiledning
Økt 2
Lærerveiledning
Økt 3
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne SUM-en
Likhet (eller ekvivalens) er en matematisk ide som handler om at noe representerer det samme som noe annet. Likhetstegnet (=) er det matematiske symbolet for likhet. I denne SUM’en får elevene erfaringer med likhet og bruk av likhetstegnet i forbindelse med ligninger, representert ved skålvekt, tegninger og symboler. Varierte erfaringer gir elevene et godt utgangspunkt for å utvikle en relasjonell forståelse av likhet og likhetstegnet. Det er avgjørende for å lykkes i for eksempel algebra og problemløsing.
| Kunnskapsområde | Tall, algebra |
|---|---|
| Forkunnskaper | Elevene bør ha kjennskap til skålvekt som hjelp til å konkretisere regnestykker |
| Sentrale begrep | Likvekt, likning, x som ukjent |
| Trinn | Fra 5. trinn |
| Utstyr | Skålvekt, Nymicon/Multilink eller lignende |
| Litteratur | Matematisk samtale, problemløsning, representasjoner |
Økt 1: |
Fra ubalanse til balanse Utforsking, samtale |
|---|---|
Økt 2: |
Fra skålvekt til likning Øving, samtale |
Økt 3: |
Øving og problemløsning Øving |
Fra ubalanse til balanse
Læringsmål: Beskrive ubalanse og balanse konkret, verbalt og symbolsk
Skålvekt i balanse og ubalanse
Hensikt: Elevene skal beskrive hva som kjennetegner ei skålvekt i ubalanse og hvordan de kan opprettholde ubalansen. Det samme med ei vekt i balanse. Elevene skal arbeide konkret (med skålvekta), verbalt («det er to mer i den ene skåla») og symbolsk (2 + 4 = 6). La elevene få varierte erfaringer knyttet til skålvekt i ubalanse og balanse. Introduser etter hvert likevekt som et annet ord for at noe er i balanse.
Aktivitet
Utstyr: skålvekt, Numicon/Multilink eller lignende
Ta utgangspunkt i ulike situasjoner der skålvekta er i ubalanse. Bruk spørsmålene i lærerveiledningen til en matematisk samtale med elevene.
La elevene først få erfaringer knyttet til ei skålvekt i ubalanse, før de arbeider med ei skålvekt i balanse.
Få skålvekta i balanse
Hensikt: Elevene skal beskrive hva de må gjøre for å få ei skålvekt i balanse når den i utgangspunktet er i ubalanse. Kombiner ulike representasjoner; de konkrete situasjonene med skålvekta og symboler. Skålvekta kan også brukes når elever skal argumentere for sine løsninger.
Aktivitet
Utstyr: Skålvekt, Numicon/Multilink eller lignende
Gi elevene ulike regnestykker der ett tall mangler. Elevene kan bruke skålvekta til å konkretisere de ulike regnestykkene de får.
Når elevene har fått erfaring med de ulike oppgavetypene (se lærerveiledning for en oversikt over ulike oppgavetyper), kan elevene lage regnestykker til hverandre.
Dere er klare til å gå videre til neste økt når
- Elevene kan forklare hvordan de kan opprettholde balanse på ulike måter. Også konkret og symbolsk.
- Elevene kan forklare riktig bruk av likhetstegnet.
Fra skålvekt til likning
Læringsmål: Bruke standard algebraisk symbolbruk (bokstaver) i enkle regnestykker, og vite at likt symbol representerer noe som er likt.
Skålvekt i balanse og ubalanse
Hensikt: Elevene skal opprettholde likevekt i oppgaver som viser ei skålvekt der ett eller flere objekter har ukjent verdi. Elevene kan fint arbeide parvis og de må kunne argumentere for hvorfor deres løsning er riktig. I oppgaveheftet er det en kolonne der elevene skal skrive hver oppgave med symboler. Samtal med elevene om at det er enklere å representere disse illustrasjonene med symboler. Vi bruker ofte x som det ukjente i likninger.
Aktivitet
Utstyr: Oppgavehefte (pdf), eventuelt skålvekt
La elevene arbeide med oppgavene i heftet. Illsutrasjonen viser en oppgave fra heftet. Her kan elevene først finne at hunden må ha verdi 11, fordi da er det like mye på begge sider og skålvekta er i balanse. Deretter må de utfordres til å skrive det skålvekta viser med symboler. Altså x + 2 = 13. Som gir x = 11. Ha fokus på at det er enklere å skrive med symboler enn det er å tegne skålvekta med klosser og hund.
Aktivitet
Utstyr: Oppgaveark (pdf)
Oppgavearket inneholder tre oppgaver fra oppgaveheftet i forrige aktivitet. Elevene skal rangere oppgavene fra den enkleste til den vanskeligste.
Se lærerveiledning for forslag til spørsmål.
Matematisk samtale
Samtal med elevene om deres løsninger av oppgavene.
Se lærerveiledningen for forslag til spørsmål.
Dere er klare til å gå videre til neste økt når
- Elevene kan forklare hvordan de går fram for å finne den ukjente.
- Elevene bruker symboler på en korrekt måte.
Øvingsoppgaver
Læringsmål: Bruke kunnskap i nye situasjoner.
Arbeid med ulike oppgaver
Hensikt: Elevene skal få varierte erfaringer med ulike oppgaver om likevekt og likninger.
Oppgaveløsing
Utstyr: Oppgavehefte (pdf)
La elevene arbeide med oppgavene i heftet. Heftet inneholder et mangfold av oppgaver. Du finner rene øvingsoppgaver og problemløsningsoppgaver.
Avsluttende vurdering av SUM
- Elevene bruker kompetansen de har tilegnet seg i økt 1 og 2, i de nye situasjonene de har møtt i denne økta.
Lærerveiledning ØKT 1
Aktivitet 1 – Skålvekt
Hvorfor arbeide med denne oppgaven
Læringsmål: beskrive ubalanse og balanse konkret, verbalt og symbolsk.
Elevene skal beskrive hva som kjennetegner ei skålvekt i ubalanse og hvordan de kan opprettholde ubalansen. Det samme med ei vekt i balanse. Elevene skal arbeide konkret (med skålvekta), verbalt («det er to mer i den ene skåla») og symbolsk (2 + 4 = 6). Økta lar elevene få varierte erfaringer knyttet til skålvekt i ubalanse og balanse.
Mulig tilnærming
Legg opp aktiviteten som en matematisk samtale der elevene får se og selv erfare skålvekta i balanse/ubalanse.
Start med vekta i ubalanse. Spør gjerne:
- Hva ser du?
- Hva kan vi legge oppi/ta bort fra skål A/skål B slik at skålvekta fortsatt er i ubalanse?
- Hva skal til for at vekta fortsetter å vøre i ubalanse?
Hensikten med spørsmålene er å løfte fram elevutsagn som handler om antall enheter, ikke vekt eller masse. For eksempel «6 i skål A har større verdi enn 2 i skål B», «2 i skål B har mindre verdi enn 6 i skål A», «det er 4 mer i skål A enn i skål B».
For å opprettholde ubalansen kan vi legge til hva vi vil i skål A, vi kan ta bort så mye vi vil fra skål B, eller vi kan legge til eller ta bort like mye fra begge skålene.
Med symboler kan vi skrive ubalanse slik: 6 ≠ 2.
La elevene selv også utforske ubalanse med egen skålvekt.
Sett så vekta i balanse, spør gjerne:
- Hva ser/vet du?
- Hva kan vi legge oppi/ta bort fra skål A/skål B slik at skålvekta fortsatt er i likevekt?
- Hva skal til for å opprettholde likevekt?
Hensikten med spørsmålene er å løfte fram elevutsagn som handler om antall enheter, ikke vekt eller masse, for eksempel «6 i skål A er det samme som 2 + 4 i skål B». For å opprettholde likevekt må vi legge til (6 + 3 = 2 + 4 + 3) eller ta bort (6 – 1 = 2 + 4 – 1) like mye fra begge skålene.
Her kan det etter hvert være hensiktsmessig å introdusere begrepet likevekt.
Gode veiledningsspørsmål
- Hvorfor er skålvekta i balanse/ubalanse?
- På hvilken måte er det mer/mindre?
- Kan dere finne andre eksempler på at skålvekta er i balanse/ubalanse?
Mulig utvidelse
Når elevene utforsker med skålvekter er det viktig at de selv får utfolde seg ved å bruke mange ulike tall. Elever som trenger mer utfordring vil gjerne teste veldig høye tall og kombinasjoner de synes virker umulige.
Mulig støtte
...
Aktivitet 2 - med symboler
Hvorfor arbeide med denne oppgaven
I denne aktiviteten får elevene erfaring med hvordan representasjonene henger sammen med skålvekta som en konkret representasjon av det symbolske. Dette vil øve elevene i å oversette mellom representasjonene, og gi innsikt i hva en likning representerer.
Mulig tilnærming
Sett opp en situasjon med skålvekta der den er i ubalanse. Skriv ned situasjonen som et enkelt regnestykke med ukjent på tavla, for eksempel
15 + ___ = 25. Spør elevene «hvordan kan vi få denne skålvekta i balanse?» Gjør dette med noen ulike situasjoner.
Fortsett deretter med oppgaver av typen som utfordrer elevenes forståelse av likhetstegnet. Eksempel 18 + 12 = ___ + 5.
En vanlig misoppfatning er at elevene skriver summen av tallene på venstre side på den ledige plassen, fordi = betyr «her kommer svaret».
Det er forskjell på om du skriver det manglende tallet rett bak = som vist i eksemplet, eller om du skriver 18 + 12 = 5 + __. Denne oppgaven utfordrer ikke forståelsen for likhetstegnet på samme måte.
Følg deretter på med oppgaver av typen om har flere ulike løsninger, som for eksempel ___ + 13 = 16 + ___
Til slutt kan elevene lage egne likninger, med en eller flere løsninger til hverandre.
Du kan også bruke en «utgangsbillett» på slutten av økta, der du ber elevene lage 3 likninger til deg, med fasit, som de leverer inn. Slik kan du lettere se om noen trenger mer tid med dette.
Gode veiledningsspørsmål
- Kan dette stemme?
- Hva skjer om du prøver å løse likningen? Hva er det likhetstegnet betyr?
Mulig utvidelse
Når elevene skal lage regnestykker for hverandre er det viktig at de som trenger utfordring får utforske med store, og vanskelige tall. La de også løse hverandres likninger slik at de også har muligheten til å «teste» om likningene kan stemme.
Mulig støtte
...
Lærerveiledning økt 2
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Praesent sollicitudin convallis malesuada. Sed at ante in orci luctus fermentum. Suspendisse nec velit interdum, eleifend libero quis, feugiat massa. Proin mattis sit amet sem ac finibus. Donec vitae sagittis eros. Vivamus eu hendrerit mi. Ut sodales quam sagittis lectus sagittis varius. Nam euismod malesuada lobortis. Fusce et tristique leo. Morbi consectetur fermentum lectus, in accumsan ex imperdiet id.
Nam id euismod massa. Curabitur porttitor libero sed felis ultrices suscipit in quis nunc. Integer odio quam, tincidunt non finibus et, volutpat a purus. Praesent neque tortor, placerat a tempor ut, tincidunt vitae massa. Praesent nulla diam, imperdiet at pellentesque quis, faucibus a purus. Aenean sagittis lobortis quam et mollis. Morbi sodales diam quis sodales euismod. Fusce scelerisque vulputate pellentesque. Nunc commodo molestie neque, at sollicitudin ipsum venenatis a. Mauris tempus semper ipsum id tincidunt. Ut et mi imperdiet, finibus enim eu, porta quam. Donec eleifend rutrum elit a faucibus. Quisque sit amet elit non ipsum tempor blandit in aliquam purus. Pellentesque accumsan id leo quis suscipit.
Aliquam hendrerit nisl ipsum. Sed ipsum nisl, ultricies vitae porta sit amet, bibendum id arcu. Sed mollis, mi laoreet sollicitudin sollicitudin, ante mi tempor nulla, nec egestas velit mauris ut odio. Cras sit amet auctor est. Sed quis enim ac tellus tincidunt maximus at pellentesque lorem. Maecenas risus felis, malesuada sed iaculis sed, laoreet sed mauris. Integer sed ex ut lorem hendrerit congue in nec risus. Nullam et orci lectus. Pellentesque volutpat libero quis arcu bibendum, ac placerat orci tempus. Nunc commodo metus ac urna laoreet, vel venenatis nisl commodo.
Lærerveiledning økt 3
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. In in augue sapien. Aenean dolor justo, venenatis sed nunc et, tincidunt posuere justo. Pellentesque vulputate quis justo sed viverra. Quisque nunc turpis, accumsan a massa ut, fringilla suscipit diam. Morbi porttitor mi vel ligula sollicitudin molestie. Nunc rutrum ante quis nibh dictum rhoncus. Nunc sapien dolor, varius nec varius ac, dictum quis turpis. Vivamus mattis massa mauris, tristique egestas urna tristique facilisis. Nam id efficitur urna. Suspendisse mi arcu, facilisis nec elit at, sodales scelerisque est. Suspendisse potenti. Maecenas a volutpat lorem. Maecenas tristique vel tortor quis sodales. Nunc maximus tincidunt iaculis. In facilisis eros vitae dolor aliquam, tristique imperdiet dui fringilla. Nulla placerat gravida sapien, at posuere enim feugiat eu.
Nunc interdum velit non erat faucibus, in tempus purus lobortis. Quisque non semper odio. Curabitur vestibulum eu nisi eleifend dignissim. Nam ut lorem a velit consectetur bibendum non id tellus. Donec non purus dignissim, tincidunt est in, cursus nisl. Proin a molestie neque. Aenean vel vulputate ex.
Fusce at velit ut risus varius iaculis. Vestibulum feugiat, lorem sed convallis hendrerit, mauris mauris vehicula purus, a condimentum est enim non ex. Nunc placerat tempus consectetur. Vestibulum sollicitudin egestas commodo. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Phasellus id tortor nisi. Aliquam mattis pulvinar sapien, non convallis leo euismod ac. Curabitur pretium lobortis velit ac tristique. Vivamus non velit pellentesque, consequat tortor at, rutrum dolor. Aliquam sed magna in elit fringilla vulputate. Donec non ullamcorper quam. Phasellus non turpis vel tortor gravida porttitor quis id lacus. Vestibulum quis lorem ut ante accumsan euismod in eget ipsum. Vivamus eu convallis lectus, et condimentum diam. Aliquam erat volutpat. In hac habitasse platea dictumst.
Eksempelsamtale aktivitet 1 - Likevekt
Lærer har satt fram ei skålvekt med ulike mengder klosser på hver side. Elevene sitter i grupper med ei skålvekt foran seg, og har kopiert lærerens skålvekt. Samtalen har dreid seg om hva de ser og vet om skålvekta foran seg. Og hva begrepene balanse/ubalanse betyr.
- Lærer: «Hva skal til for at vekta vil komme i balanse?»
- Læreren venter i 25-30 sekunder.
- Lærer: «snakk sammen to og to, hva skal til for at vekta vil komme i balanse?»
- Elevene snakker sammen, bruker gester og prøver ut med klossene og vekta foran seg. Læreren klapper tre ganger.
- Lærer: «Ok... Luca og Liam, hva snakket dere om?»
- Luca: « Jo, at du må putte oppi flere der.»
- Luca peker mot der det er færrest klosser.
- Liam nikker enig.
- Lærer: «OK, er det noen som har snakket om noe annet?»
- Ingen viser tegn.
- Lærer: «Even og Kaja, kan dere si hva dere snakka om?»
- Liam: «Jo, at eh.. Man må putte oppi mer!»
- Lærer: «Man må putte oppi mer?»
- Kaja: «Ja! Oppi her.»
- Kaja peker på vekta på den siden det er færrest klosser.
- Lærer: «Okei... Flere oppi her.»
- Læreren legger oppi flere klosser, men for mange slik at vekta havner i ubalanse motsatt vei.
- Flere elever utbryter «Nei! Ikke sånn!»
- Lærer: «Ada»
- Læreren peker mot ei jente som rekker opp hånda.
- Lærer: «Hva tenker du?»
- Ada: «Det blir for mange!»
- Læreren trenger utdyping og spør: «OK, dette må forklare mer for meg».
- Ada: «Det manglet bare to klosser og du la oppi fire!»
- Læreren «Hmmm, kan du prøve og forklare meg det Ada sier Eline?»
- Eline: «Jaaa.. Eh... Når vekta var som i sted...»
- Lærer: «Sånn?»
- Læreren tar bort klossene som hun nettopp la oppi.
- Eline: «Ja, da måtte man legge oppi to klosser for at det skulle bli like mange på begge sider.»
- Lærer: «Sånn?»
- Læreren legger to klosser oppi der det er færrest).
- Flere: «Ja!»
- Lærer: «Ok, hva har skjedd med vekta nå?»
- Kaja: «Nå er den i balanse!»